ویرایشگر پیشرفته مارک‌داون و ریاضی

۴. مسئله مشتقات جزئی زیر را حل کنید.$$\begin{cases} u_t = 16u_{xx}, & 0 \le x \le 1, \ t \ge 0 \\ u_x(0, t) = 0, & u_x(1, t) = 0, \ t \ge 0 \\ u(x, 0) = -\frac{1}{7}\cos(2\pi x) + \sqrt{3}\cos(3\pi x), & 0 \le x \le 1 \end{cases}$$

---

### گام ۱: دسته‌بندی مسئله و استخراج پارامتره

این مسئله یک **معادله انتقال حرارت (Heat Equation)** در حالت یک‌بعدی با **شرایط مرزی نویمن (Neumann)** است. پارامترهای کلیدی عبارتند از:

*   **معادله اصلی:** $u_t = k u_{xx}$ که در آن ضریب نفوذ حرارتی $k = 16$ است.
*   **طول دامنه:** $L = 1$.
*   **شرایط مرزی (عایق در دو سر):** $u_x(0, t) = 0$ و $u_x(1, t) = 0$.
*   **شرط اولیه:**
$$ u(x, 0) = f(x) = -\frac{1}{7} \cos(2\pi x) + 3 \cos(3\pi x) $$

---

### گام ۲: روش جداسازی متغیرها (Separation of Variables)

فرض می‌کنیم جواب به فرم $u(x, t) = X(x)T(t)$ باشد. با جایگذاری در معادله داریم:
$$ X(x)T'(t) = 16 X''(x)T(t) $$
با تقسیم طرفین بر $16X(x)T(t)$، متغیرها جدا می‌شوند:
$$ \frac{T'(t)}{16T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$

این تساوی به دو معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) ختم می‌شود:

**۱. معادله مکانی:**
$$ X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X'(0) = 0, \quad X'(1) = 0 $$
این یک مسئله مقدار مرزی است. برای شرایط مرزی مشتق (نویمن)، مقادیر ویژه و توابع ویژه عبارتند از:
$$ \lambda_n = (n\pi)^2 \implies \lambda_n = n^2 \pi^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
$$ X_n(x) = \cos(n\pi x) $$

**۲. معادله زمانی:**
$$ T'(t) + 16(n^2 \pi^2)T(t) = 0 \implies T_n(t) = e^{-16n^2 \pi^2 t} $$

---

### گام ۳: تشکیل جواب کلی سری فوریه کسینوسی

طبق اصل برهم‌نهی (Superposition Principle)، جواب عمومی برابر است با مجموع جواب‌های پایه:
$$ u(x, t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\pi x) e^{-16n^2 \pi^2 t} $$

در اینجا $A_0$ میانگین مقدار اولیه و $A_n$ ضرایب بسط فوریه کسینوسی تابع $f(x)$ هستند.

---

### گام ۴: تعیین ضرایب با استفاده از شرط اولیه

شرط اولیه مسئله به صورت زیر داده شده است:
$$ u(x, 0) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\pi x) = -\frac{1}{7} \cos(2\pi x) + 3 \cos(3\pi x) $$

از آنجا که تابع $f(x)$ خود ترکیبی خطی از توابع پایه متعامد ($\cos(n\pi x)$) است، مطابق با اصل تعامد، ضرایب مستقیماً از مقایسه دو طرف تساوی به دست می‌آیند.

**جزئیات مقایسه ضرایب:**
*   جمله ثابت در سمت راست وجود ندارد، بنابراین:
$$ A_0 = 0 $$
*   ضریب مربوط به $\cos(n\pi x)$ برای $n=2$ در سمت راست برابر $-\frac{1}{7}$ است:
$$ A_2 = -\frac{1}{7} $$
*   ضریب مربوط به $\cos(n\pi x)$ برای $n=3$ در سمت راست برابر $3$ است:
$$ A_3 = 3 $$
*   برای سایر مقادیر $n$ (یعنی $n \notin \{2, 3\}$):
$$ A_n = 0 $$

*(توضیح فنی: در صورتی که $f(x)$ یک تابع چندجمله‌ای یا غیرمثلثاتی بود، از انتگرال‌گیری برای یافتن $A_n$ استفاده می‌شد، اما در اینجا به دلیل ماهیت مثلثاتی تابع، مقایسه مستقیم دقیق‌ترین و سریع‌ترین روش است.)*

---

### گام ۵: بازنویسی جواب نهایی

با جایگذاری ضرایب $A_2$ و $A_3$ در فرمول کلی جواب (گام ۳)، جواب نهایی مسئله به صورت زیر است:

برای $n=2$:
$$ u_2(x, t) = -\frac{1}{7} \cos(2\pi x) e^{-16(2^2)\pi^2 t} = -\frac{1}{7} \cos(2\pi x) e^{-64\pi^2 t} $$

برای $n=3$:
$$ u_3(x, t) = 3 \cos(3\pi x) e^{-16(3^2)\pi^2 t} = 3 \cos(3\pi x) e^{-144\pi^2 t} $$

**نتیجه نهایی:**
$$ u(x, t) = -\frac{1}{7} \cos(2\pi x) e^{-64\pi^2 t} + 3 \cos(3\pi x) e^{-144\pi^2 t} $$

این تابع در $t=0$ شرط اولیه را ارضا کرده و به دلیل وجود توابع کسینوسی، شرط عایق بودن مرزها ($u_x=0$) در $x=0$ و $x=1$ را نیز تضمین می‌کند.

ویرایشگر پیشرفته پاسخ‌نامه‌های ریاضی و مهندسی